فکر می کنید به طور متوسط دخترها خواهرهای بیشتری دارند

در خانواده های اطراف شما تعداد خواهرهای پسرها بیشتر است یا تعداد خواهرهای دخترها ؟

برای پیدا کردن جواب این سوال باید دست به شبیه سازی وضعیت واقعی بزنیم. با هر بار زدن یکی از دکمه ها در Applet زیر 1 تا 10000 خانواده 0 تا 5 فرزندی تولید می شوند و اطلاعات آنها به لیست اضافه می شوند. احتمال تولد پسرها و دخترها را مساوی فرض می کنیم. در جدول بالا تعداد کل خانواده ها به تفکیک تعداد فرزند و تعداد فرزندان پسر را می بینید. در ادامه اطلاعات مختلفی راجع به جامعه تولید شده می بینید از جمله اعدادی که در این بررسی مورد نظر ما هستند، یعنی میانگین تعداد خواهرهای هر پسر و میانگین تعداد خواهر های هر دختر. همانطور که می دانید با افزایش تعداد کل خانواده ها دو عدد مورد نظر ما یعنی میانگین تعداد خواهرهای هر پسر و میانگین تعداد خواهر های هر دختر به طرز عجیبی به هم نزدیک می شوند. یعنی بر خلاف قضاوت اولیه ما به طور متوسط پسرها همان قدر خواهر دارند که دخترها.
اما چرا اینطور است. برای اینکه موضوع را تا حدی روشن تر کنیم تعداد خواهرهای پسرها و دخترها را در جامعه ای تشکیل شده از همه خانواده های 3 فرزندی ممکن می شماریم. این خانواده ها 8 تا هستند (چرا؟)

فرزندان	خواهرهای پسرها	خواهرهای دخترها	فرزندان	خواهرهای پسرها	خواهرهای دخترها
	٠×٣	٢×٣		١×٢	٠×١
	١×٢	١×٢		١×٢	٠×١
	١×٢	١×٢		١×٢	٠×١
	١×٢	١×٢		٠×٣	٠×٠

همین طور که می بینید تعداد خواهرهای پسرها و دخترها با هم مساوی و برابر 12 است.
اگر سعی کنید همین شمارش را برای خانواده های 4، 5 و ... فرزندی انجام دهید خواهید دید این حکم در مورد همه خانواده های با تعداد فرزندهای مساوی (برابر n ) برقرار است.

برای آن ها که حوصله و دقت بیشتری دارند این محاسبه را انجام می دهیم: جامعه همه خانواده های n فرزندی ممکن را در نظر بگیرید. اگر تعداد خواهرهای پسرها را با و تعداد خواهرهای دخترها را با نشان دهیم، آنگاه با توجه به اینکه در خانواده ای با s دختر و n-s پسر، تعداد خواهرهای پسرها برابر و تعداد خواهرهای دخترها برابر است، می توان نوشت:

با یک محاسبه ساده داریم،

و با همین روش می توانیم نشان دهیم که .

یعنی . و از آنجا که در این جامعه تعداد پسرها با تعداد دخترها برابر است (چرا؟) ، بنابراین میانگین تعداد خواهرهای هر پسر و میانگین تعداد خواهر های هر دختر هم با هم برابر خواهند بود.

نتیجه اخلاقی: خیلی وقت ها خیلی چیزها آن طور که به نظر می رسند نیستند. و شهود ما در بسیاری از مواقع مرتکب اشتباه می شود. یکی از اهداف اولیه ریاضیات جلوگیری از همین نوع اشتباهات حسی و هدایت و دقیق کردن شهود است.